W praktyce szkolnej „postać kanoniczna” najczęściej dotyczy funkcji kwadratowej. To bardzo wygodny zapis, bo od razu widać wierzchołek paraboli (punkt najwyższy lub najniższy) i łatwo narysować wykres.
1. Funkcja kwadratowa i trzy popularne postacie
Funkcję kwadratową zapisujemy ogólnie jako:
\[\;f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0\;\]
W szkole spotkasz trzy formy zapisu (każda do czegoś się przydaje):
| Postać | Wzór | Co łatwo odczytać? |
|---|---|---|
| ogólna | \(\;ax^2+bx+c\;\) | współczynniki \(a,b,c\) |
| kanoniczna | \(\;a(x-p)^2+q\;\) | wierzchołek \(W=(p,q)\), kierunek ramion (znak \(a\)) |
| iloczynowa | \(\;a(x-x_1)(x-x_2)\;\) | miejsca zerowe \(x_1,x_2\) (jeśli istnieją) |
2. Postać kanoniczna – wzór i sens
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma wzór:
\[\;f(x)=a(x-p)^2+q\;\]
Najważniejsze informacje:
- Wierzchołek paraboli: \(\;W=(p,q)\).
- Oś symetrii: \(\;x=p\).
- Kierunek ramion: gdy \(\;a>0\;\) ramiona są „do góry”, gdy \(\;a<0\;\) – „w dół”.
- Wartość najmniejsza/największa: to \(\;q\;\) (minimum dla \(a>0\), maksimum dla \(a<0\)).
3. Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną? (metoda krok po kroku)
Zaczynamy od:
\[\;f(x)=ax^2+bx+c\;\]
Chcemy doprowadzić do czegoś w rodzaju „kwadratu”: \((x-p)^2\). Najczęściej robi się to przez uzupełnianie do kwadratu.
3.1. Uzupełnianie do kwadratu (algorytm)
Krok 1. Wyłącz \(a\) przed nawias z dwóch pierwszych składników:
\[\;ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\;\]
Krok 2. Uzupełnij wyrażenie w nawiasie do kwadratu. Pamiętaj:
\[\;x^2+2ux=(x+u)^2-u^2\;\]
U nas \(\;\frac{b}{a}\;\) pełni rolę \(2u\), więc:
\[\;2u=\frac{b}{a}\quad\Rightarrow\quad u=\frac{b}{2a}\;\]
Zatem:
\[\;x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\;\]
Krok 3. Podstaw i uporządkuj:
\[\;f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2+c\;\]
Czyli:
\[\;f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\;\]
To już jest postać kanoniczna \(\;a(x-p)^2+q\;\), tylko zauważ, że:
\[\;p=-\frac{b}{2a},\qquad q=c-\frac{b^2}{4a}\;\]
3.2. Gotowy wzór na \(p\) i \(q\)
Dla \(\;f(x)=ax^2+bx+c\;\) (gdzie \(a\neq 0\)):
\[\;\boxed{p=-\frac{b}{2a}}\qquad\boxed{q=f(p)=c-\frac{b^2}{4a}}\;\]
Wtedy:
\[\;\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}\;\]
4. Przykłady zadań (od prostych do typowych)
Przykład 1. Zamień na postać kanoniczną: \(f(x)=x^2-6x+5\)
Tu \(\;a=1,\;b=-6,\;c=5\).
Liczymy:
\[\;p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3\;\]
\[\;q=c-\frac{b^2}{4a}=5-\frac{(-6)^2}{4\cdot 1}=5-\frac{36}{4}=5-9=-4\;\]
Zatem:
\[\;f(x)=(x-3)^2-4\;\]
Wierzchołek: \(\;W=(3,-4)\), oś symetrii: \(\;x=3\).
Przykład 2. Zamień na postać kanoniczną: \(g(x)=2x^2+8x-3\)
\(\;a=2,\;b=8,\;c=-3\).
\[\;p=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 2}=-2\;\]
\[\;q=c-\frac{b^2}{4a}=-3-\frac{8^2}{4\cdot 2}=-3-\frac{64}{8}=-3-8=-11\;\]
Postać kanoniczna:
\[\;g(x)=2(x-(-2))^2-11=2(x+2)^2-11\;\]
Przykład 3. Odczytaj wierzchołek i minimum z postaci kanonicznej: \(h(x)=-3(x-1)^2+7\)
- \(p=1,\;q=7\Rightarrow W=(1,7)\).
- \(a=-3<0\) więc parabola jest „w dół” i ma maksimum równe \(7\).
- Oś symetrii: \(x=1\).
Przykład 4. Zadanie typowe: znajdź najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=x^2+4x+10\)
Tu \(a=1>0\), więc będzie minimum w wierzchołku.
\[\;p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\;\]
\[\;q=f(p)=f(-2)=(-2)^2+4(-2)+10=4-8+10=6\;\]
Minimum wynosi \(\;6\;\), a postać kanoniczna:
\[\;f(x)=(x+2)^2+6\;\]
5. Szybka ściąga: co warto umieć od razu?
| Wierzchołek | Dla \(\;a(x-p)^2+q\;\): \(\;W=(p,q)\) |
| Oś symetrii | \(\;x=p\) |
| Minimum/Maksimum | \(\;a>0\Rightarrow \min=q\;\), \(\;a<0\Rightarrow \max=q\;\) |
| Jak znaleźć \(p,q\) z ogólnej? | \(\;p=-\frac{b}{2a}\), \(\;q=c-\frac{b^2}{4a}\) |
6. Prosty wykres paraboli (Canvas) + kalkulator postaci kanonicznej
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator: wpisujesz \(a,b,c\) z postaci ogólnej \(\;ax^2+bx+c\;\), a narzędzie wylicza \(\;p,q\;\) oraz pokazuje wierzchołek i szkic paraboli.
7. Najczęstsze błędy i jak ich uniknąć
- Pomyłka w znaku przy \(p\): skoro \(\;p=-\frac{b}{2a}\;\), to gdy \(b\) jest ujemne, \(p\) wyjdzie dodatnie (i odwrotnie).
- Mylenie \(q\) z \(c\): w ogólnej \(c\) to punkt przecięcia z osią \(y\), a w kanonicznej \(q\) to „wysokość” wierzchołka.
- Zapominanie, że \(a\neq 0\): gdy \(a=0\), to nie jest funkcja kwadratowa, tylko liniowa.
- Błędne wnioski o minimum/maksimum: o tym decyduje znak \(a\), a nie znak \(q\).
8. Mini-zadania do samodzielnego treningu (z odpowiedziami)
- Zamień na postać kanoniczną: \(\;x^2+2x-8\).
- Zamień na postać kanoniczną: \(\;-2x^2+4x+1\).
- Podaj wierzchołek i oś symetrii: \(\;3(x+5)^2-12\).
Odpowiedzi:
- 1) \(\;(x+1)^2-9\), wierzchołek \((-1,-9)\).
- 2) \(\;-2(x-1)^2+3\), wierzchołek \((1,3)\).
- 3) \(W=(-5,-12)\), oś: \(x=-5\).