W tym artykule krok po kroku nauczysz się, jak obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej. Tekst jest napisany z myślą o edukacji domowej i pracy z uczniem, który dopiero poznaje funkcję kwadratową. Będziemy zatrzymywać się przy każdym kroku, wyjaśniać, skąd biorą się wzory i jak ich używać w praktyce.
Co to jest funkcja kwadratowa?
Funkcja kwadratowa to funkcja, którą najczęściej zapisujemy w postaci ogólnej:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
gdzie:
- \(a, b, c\) – to liczby (nazywamy je współczynnikami funkcji),
- \(a \neq 0\) – to bardzo ważny warunek: bez niego funkcja nie byłaby kwadratowa, tylko liniowa,
- \(x\) – to zmienna, czyli liczba, którą podstawiamy do funkcji.
Przykłady funkcji kwadratowych:
- \(f(x) = 2x^2 + 3x – 5\)
- \(f(x) = -x^2 + 4x\)
- \(f(x) = 0{,}5x^2 – 7\)
Co to są miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
Miejsca zerowe funkcji to takie wartości \(x\), dla których wartość funkcji wynosi zero. Innymi słowy:
\[ f(x) = 0 \]
Dla funkcji kwadratowej:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Miejsca zerowe są punktami, w których wykres funkcji (parabola) przecina oś \(Ox\) (oś poziomą). Jeżeli narysujemy wykres funkcji kwadratowej, to:
- jeśli przecina oś \(Ox\) w dwóch miejscach – ma dwa miejsca zerowe,
- jeśli dotyka osi \(Ox\) w jednym punkcie – ma jedno miejsce zerowe (tzw. podwójne),
- jeśli w ogóle nie przecina osi \(Ox\) – nie ma miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych.
Jak zapisać równanie do obliczenia miejsc zerowych?
Aby obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej, zawsze zaczynamy od zapisania równania:
\[ f(x) = 0 \]
Czyli jeśli mamy funkcję:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
to szukamy takich \(x\), które spełniają równanie:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
To równanie nazywamy równaniem kwadratowym. Jego rozwiązaniami są właśnie miejsca zerowe funkcji.
Metody obliczania miejsc zerowych funkcji kwadratowej
W praktyce używamy trzech podstawowych metod:
- Metoda 1 – rozkład na czynniki (gdy się da „ładnie” rozłożyć).
- Metoda 2 – wzór z deltą (najbardziej uniwersalna metoda).
- Metoda 3 – wyłączanie wspólnego czynnika (szczególny przypadek).
Pokażemy każdą z nich krok po kroku.
Metoda 1: Rozkład na czynniki
Ta metoda polega na zapisaniu funkcji kwadratowej w postaci iloczynu dwóch nawiasów. Ogólna idea:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad \Longrightarrow \quad (px + q)(rx + s) = 0 \]
Jeśli uda się zapisać funkcję w takiej postaci, to korzystamy z faktu, że iloczyn dwóch liczb jest zerem tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest zerem. Czyli:
\[ (px + q)(rx + s) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} px + q = 0 \\ \text{lub} \\ rx + s = 0 \end{cases} \]
Każde z tych prostych równań liniowych daje nam jedno miejsce zerowe.
Przykład 1 – rozkład na czynniki
Rozwiąż równanie:
\[ x^2 – 5x + 6 = 0 \]
Krok 1. Szukamy dwóch liczb, których:
- suma jest równa \(-5\),
- iloczyn jest równy \(6\).
Takimi liczbami są \(-2\) i \(-3\), bo:
- \(-2) + (-3) = -5\)
- \((-2)\cdot(-3) = 6\)
Krok 2. Zapisujemy trójmian jako iloczyn nawiasów:
\[ x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie:
\[ (x – 2)(x – 3) = 0 \]
Zatem:
\[ \begin{cases} x – 2 = 0 \\ x – 3 = 0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} x = 2 \\ x = 3 \end{cases} \]
Odpowiedź: funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x_1 = 2\) oraz \(x_2 = 3\).
Kiedy ta metoda jest wygodna?
Metoda rozkładu na czynniki jest bardzo szybka, ale działa najlepiej, gdy:
- współczynniki \(a, b, c\) są „ładnymi” liczbami (najlepiej całkowitymi),
- trójmian łatwo rozłożyć „na oko”.
Gdy jest trudno znaleźć takie liczby, lepiej użyć metody z deltą.
Metoda 2: Delta i wzór kwadratowy (metoda uniwersalna)
To najważniejsza metoda. Działa dla każdej funkcji kwadratowej (z liczbami rzeczywistymi), nawet gdy nie da się jej łatwo rozłożyć na czynniki.
Delta – co to jest?
Delta (oznaczana grecką literą \(\Delta\)) to wyrażenie:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Delta informuje nas, ile jest miejsc zerowych funkcji kwadratowej:
| Wartość delty \(\Delta\) | Co to oznacza? | Liczba miejsc zerowych |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | dwa różne pierwiastki | 2 miejsca zerowe |
| \(\Delta = 0\) | jeden podwójny pierwiastek | 1 miejsce zerowe |
| \(\Delta < 0\) | brak pierwiastków rzeczywistych | 0 miejsc zerowych |
Wzory na miejsca zerowe (pierwiastki) funkcji kwadratowej
Gdy mamy funkcję:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
i policzymy deltę \(\Delta = b^2 – 4ac\), to miejsca zerowe liczymy z wzorów:
- gdy \(\Delta > 0\):
\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- gdy \(\Delta = 0\):
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]
Przykład 2 – obliczanie miejsc zerowych metodą z deltą
Niech:
\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 2 \]
Chcemy obliczyć miejsca zerowe, czyli rozwiązać równanie:
\[ 2x^2 – 3x – 2 = 0 \]
Krok 1. Odczytaj współczynniki:
- \(a = 2\)
- \(b = -3\)
- \(c = -2\)
Krok 2. Oblicz deltę:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) \]
\[ \Delta = 9 + 16 = 25 \]
Krok 3. Oblicz pierwiastek z delty:
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5 \]
Krok 4. Oblicz miejsca zerowe ze wzoru:
\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) – 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 – 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
Odpowiedź: funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = 2\).
Przykład 3 – delta równa zero
Niech:
\[ f(x) = x^2 – 4x + 4 \]
Rozwiązujemy:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Krok 1. Współczynniki:
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = 4\)
Krok 2. Obliczamy deltę:
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \]
Skoro \(\Delta = 0\), mamy jedno miejsce zerowe (pierwiastek podwójny).
Krok 3. Liczymy:
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Odpowiedź: funkcja ma jedno miejsce zerowe \(x_0 = 2\). Wykres paraboli dotyka osi \(Ox\) w punkcie \(x = 2\).
Metoda 3: Wyłączanie wspólnego czynnika
Czasem wszystkie wyrazy funkcji mają wspólny czynnik (np. \(x\)). Wtedy można go „wyciągnąć przed nawias” – to znacznie ułatwia obliczanie miejsc zerowych.
Przykład 4 – wyłączanie czynnika \(x\)
Rozwiąż równanie:
\[ x^2 – 3x = 0 \]
Krok 1. Zauważamy, że każdy wyraz ma czynnik \(x\):
\[ x^2 – 3x = x(x – 3) \]
Krok 2. Mamy więc równanie:
\[ x(x – 3) = 0 \]
Zatem:
\[ \begin{cases} x = 0 \\ \text{lub} \\ x – 3 = 0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} x = 0 \\ x = 3 \end{cases} \]
Odpowiedź: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Szczególne przypadki i typowe pułapki
Przypadek 1: \(a = 0\) – to już nie jest funkcja kwadratowa
Jeżeli w równaniu:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
mamy \(a = 0\), wtedy równanie przyjmuje postać:
\[ bx + c = 0 \]
To jest równanie liniowe, nie kwadratowe. Wtedy nie wolno używać delty ani wzoru kwadratowego – rozwiązujemy je jak zwykłe równanie liniowe:
\[ bx + c = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{c}{b}, \quad (b \neq 0) \]
Przypadek 2: \(\Delta < 0\) – brak miejsc zerowych
Jeśli \(\Delta < 0\), to nie istnieje pierwiastek kwadratowy z delty w liczbach rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Mówimy wtedy, że funkcja nie ma miejsc zerowych (w liczbach rzeczywistych).
Przykład 5 – delta ujemna
Niech:
\[ f(x) = x^2 + 2x + 5 \]
Krok 1. Współczynniki:
- \(a = 1\)
- \(b = 2\)
- \(c = 5\)
Krok 2. Delta:
\[ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16 \]
\(\Delta < 0\), więc równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych, a funkcja nie ma miejsc zerowych.
Jak uczyć (i się uczyć) obliczania miejsc zerowych krok po kroku?
Przy każdej funkcji kwadratowej warto stosować ten sam, uporządkowany schemat:
- Zapisać równanie: \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Odczytać współczynniki: \(a, b, c\).
- Sprawdzić, czy można łatwo rozłożyć na czynniki: jeśli tak – użyj metody 1.
- Jeśli nie – policzyć deltę: \(\Delta = b^2 – 4ac\).
- Sprawdzić znak delty:
- \(\Delta > 0\) – dwa miejsca zerowe,
- \(\Delta = 0\) – jedno miejsce zerowe,
- \(\Delta < 0\) – brak miejsc zerowych.
- Obliczyć miejsca zerowe z odpowiedniego wzoru.
Ćwiczenia – zadania z miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe zadania. Po każdym zadaniu podajemy krótki opis rozwiązania, aby można było się sprawdzić.
Zadanie 1
Oblicz miejsca zerowe funkcji:
\[ f(x) = x^2 – x – 6 \]
Podpowiedź: Spróbuj najpierw rozłożyć trójmian na czynniki.
Szkic rozwiązania:
Szukamy dwóch liczb, których suma to \(-1\), a iloczyn \(-6\). Takimi liczbami są \(-3\) i \(2\). Dostajemy:
\[ x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \]
Z równania \((x – 3)(x + 2) = 0\) dostajemy: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).
Zadanie 2
Oblicz miejsca zerowe funkcji:
\[ f(x) = 3x^2 + 2x – 1 \]
Podpowiedź: Tutaj wygodniej od razu użyć delty.
Szkic rozwiązania:
\(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -1\).
\[ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \]
\(\sqrt{\Delta} = 4\).
\[ x_1 = \frac{-2 – 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \]
\[ x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Zadanie 3
Oblicz miejsca zerowe funkcji:
\[ f(x) = -x^2 + 4x \]
Podpowiedź: Najpierw wyłącz wspólny czynnik.
Szkic rozwiązania:
\[ -x^2 + 4x = -x(x – 4) \]
\[ -x(x – 4) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 0 \; \text{lub} \; x – 4 = 0 \]
Odpowiedź: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\).
Prosty kalkulator miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator w JavaScript, który pomoże policzyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wystarczy, że wpiszesz wartości \(a\), \(b\) i \(c\).
Kalkulator miejsc zerowych
Prosty wykres funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi
Dla intuicji warto zobaczyć, jak wyglądają miejsca zerowe na wykresie. Na wykresie poniżej pokazujemy funkcję:
\[ f(x) = x^2 - 4 \]
Ma ona dwa miejsca zerowe: \(x_1 = -2\) oraz \(x_2 = 2\). W tych punktach wykres przecina oś \(Ox\).